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Geometry

Analytische Geometrie by Gerd Fischer (auth.)

By Gerd Fischer (auth.)

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Führen wir neue Koordinaten y = y, x = - x ein, so ergibt sich die Normalform der Parabelgleichung (c = ~) . p < ~ ist ergibt o? p > O. Quadratische Ergänzung in GI. 1. 2 Hyperbelgleichung mit = ci1 . p Cl! p > 0 und eine analoge Rechnung fUhrt zur 1 b= I . ml· t a -- 2' Cl! Cl! Übungsaufgabe 6. p. Wie kann man das Verfahren modifIzieren, um auch Hyperbeln mit den hier nicht auftretenden Exzentrizitäten zu erhalten? Einen sehr schönen geometrischen Beweis rur die Brennpunktseigenschaft der Kegelschnitte fand 1822 der belgische Mathematiker G.

Beweis. Ist X eine Ebene, so ist dies trivial, denn dort sind verschiedene Geraden genau dann parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Da f bijektiv ist, haben auch die Bildgeraden keinen Schnittpunkt. Um den allgemeinen Fall darauf zurückzuführen, notieren wir zunächst Hilfssatz 1. h. die Geraden liegen in einer Ebene). 10. Zum Beweis des Hauptlemmas genügt es daher, folgendes zu zeigen. Hilfssatz 2. Ist f: X ~ X eine Kollineation und ist Xo C X eine Ebene, so ist f(X o) eine Ebene. Beweis. 9 gleich der Menge der Punkte, die auf Verbindungsgeraden zwischen Y und y' liegen.

2 verallgemeinert und in den Matrizenkalkül übersetzt.

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